集肤效应新论

龙虾 · 发表于 2015-2-3 16:18

集肤效应新论

作者：何颖楷（龙虾，cary38）

高频电流倾向于从导线表面通过，导线内的电流密度由表往里近似于指数递减：

J：电流密度
Js：表面电流密度
δ：集肤深度
x：深度

用红色的浓淡表示电流密度的大小，圆形导体截面上的电流分布如图1。

把图1展开成图3，再近似为图4进行积分计算总电流I。

R>>δ时近似关系成立。δ/R越小，电流越往边上集中，误差越小。

半径=R、壁厚=δ的空心管子均匀以Js流过时电流也是≈2πRδJs，如图2，总电流与图1相等。通俗的结论：实心粗铜线集肤效应的结果，相当于厚度等于集肤深度的铜管没有集肤效应。

《XX百科》这样描述：对于很长的圆柱形导体，比如导线来说，如果它的直径D比δ大很多的话，它对于交流电的电阻将会相当于一个中空的厚度为δ的圆柱导体对直流电的电阻。

按这种算法，常用的2.5平方毫米电线直径为1.78mm，周长5.6mm，1MHz下铜的集肤深度0.066mm，相当于“铜管”截面积0.37平方毫米，相当于0.04*294股的截面积，0.07*96股的截面积。

以上“旧论”，暗中假定表面电流密度不随频率改变，然后按通过电流大小来衡量电阻。这是两个存在问题。

对比图1与图2，电流虽然相等，但它们的电阻功耗却不相等。图1的电流比较分散，按电流平方乘以电阻计算的发热功率小于图2。所以按图2评估集肤电阻是错误的。旧法错误在于按表面电流密度相等对比总电流，总电流相等就说电阻相等，显然是把高频电流受阻全部归因于电阻，认为导线内部的电阻率变大。这是错误的。集肤效应的电阻需要重新论证。

电流在导线内部并非遇到更大的电阻，而是遇到更大的电感。电感不引起损耗，也不发热。新法以总电流相等对比电阻功耗，电阻功耗增大多少，就说明电阻增大多少。

计算功耗要对电流密度的平方（而不是电流密度）进行积分。仍按图4近似，求导线的单位长度电阻功耗P1：

其中ρ是电阻率。

图2的电流是均匀的，空心管截面积≈2πRδ，求空心管的单位长度电阻功耗P2：

对比两个得数，发现P1只是P2的一半，即图1的功耗只有图2的一半。“旧论”把粗导线的集肤电阻算大了一倍！

如不是太粗的铜线，就不能按图4来近似，要直接按图1或图3计算。这时公式法求积分有点复杂。简明的方法是把截面划分为成细小单元一一计算求和。用Excel就能完成这项任务。

严格地说，圆形导线内部的电流呈贝塞尔函数分布，计算复杂。指数是近似的函数。下表是用Excel按指数分布计算的结果：

试读表格最后一行：2.25mm直径铜线（4平方电线），以直流时的功耗为1，50Hz时损耗升至1.0008倍，600KHz时损耗升至3.718倍，1000KHz时损耗升至4.668倍，1600KHz时损耗升至5.790倍。

再次把1.78mm线与0.04mm线对比，截面积是1980倍，1MHz时损耗是3.787/1.005=3.768倍，综合为1980/3.768=525倍。忽略其它损耗，仅按1MHz集肤效应计算，1.78mm线（2.5平方线）相当于525股0.04线。这比前面旧算法的294股大得多。这些数据表明，一般家庭用的2.5平方、4平方电线，无论余料还是旧料，在去皮之后都是做线圈的好材料。

对新旧分析法差异的更显浅理解，是把粗导线看作多根平行细导线。旧法假定集肤原因是里面的电阻较大，如图5：

本文的新法认为集肤原因是里面的电感较大，如图6：

夹在中间的导线受到来自两边的互感，电感较大是容易理解的。集肤效应不增加导体的电阻率，但由于电流不均匀，电流的平方和增大了，导致电阻损耗增大，结果等同于电阻增大。譬如四根相同导线的电流都是2，平方和就是4+4+4+4=16。如果电流分别为3、1、1、3，平方和就变成9+1+1+9＝20，总电流没变，功耗却从16增至20，相当于电阻从16增至20。

李兹线就是通过绞合轮换位置，让每股的电感相等，从而电流相等，达到最小的损耗。

作者：何颖楷（龙虾，cary38）
2015.02.03首发